unidades de comprimento  escrito em sábado 22 maio 2010 14:21

COMPRIMENTO

De acordo com o SI (sistema internacional de medidas) o metro é considerado a unidade principal de medida de comprimento, seguido de seus múltiplos e submúltiplos. Os múltiplos do metro são o quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam) e os submúltiplos são decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). Entre as medidas são estabelecidos critérios de conversão, de acordo com a tabela a seguir:



A medida que as unidades seguem a orientação da direita os valores são multiplicados por 10. E a medida que seguimos para a esquerda os valores são divididos por 10. Essa tabela de conversão existe para que as valores estejam sempre na mesma unidade. Vamos realizar as seguintes transformações:

10 km em metros → 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000 metros

7 hm em dam → 7 * 10 = 70 decâmetros

5 m em cm → 5 * 10 * 10 = 500 centímetros

10 cm em m → 10 : 10 : 10 = 0,1 metros

1000 m em km → 1000 : 10 : 10 : 10 = 1 quilômetro

1 m em hm → 1 : 10 : 10 = 0,01 hectômetro

2 hm em mm → 2 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 200 000 milímetros

5 mm em m → 5 : 10 : 10 : 10 = 0,005 metros

4 km em mm → 4 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 4 000 000 milímetros


Exemplo

Algumas medidas foram fornecidas a
empresa responsável pela construção de casas populares. As informações trazem as dimensões das casas em várias unidades de comprimento diferenciadas. Faça transformação das unidades de forma que as unidades fiquem padronizadas. Observe a tabela com as dimensões das casas populares:

Casa 1
Comprimento: 120 dm
Largura: 700 cm

Casa 2
Comprimento: 0,8 dam
Largura: 90 dm

Casa 3
Comprimento: 10 000 mm
Largura: 0,009 km

Casa 4
Comprimento: 7 000 mm
Largura: 11 dm


Vamos realizar a conversão para a unidade padrão o metro.

Casa 1
120 dm em m = 120 : 10 = 12 metros
700 cm em m = 700 : 10 : 10 = 7 metros

Casa 2
0,8 dam em m = 0,8 * 10 = 8 metros
9 dm em m = 90 : 10 = 9 metros

Casa 3
10 000 mm em m = 10 000 : 10 : 10 : 10 = 10 metros
0,009 km em m = 0,009 : 10 : 10 : 10 = 9 metros

Casa 4
7 000 mm em m = 7 000 : 10 : 10 : 10 = 7 metros
110 dm em m = 110 : 10 = 11 metros

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Bhaskara descobriu a fórmula de bhaskara?  escrito em sábado 08 maio 2010 15:17

Bhaskara descobriu a fórmula de Bhaskara  ?

 

Bhaskara Acharya ( B. o Instruído ) viveu de 1 114 a 1 185 aprox., na India.

Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica ( tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas ) que dá sustentação à Astrologia.

Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época.

  

E' o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana ( medidas e trigonometria elementar ) e Combinatória.
A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher ( a tradução é Graciosa ), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética.
Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar. Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais.

 

Então, não escreveu nenhum livro importante ?

 

Ao contrário! Ele escreveu dois livros matematicamente importantes e devido a isso tornou-se o matemático mais famoso de sua época. Esses livros são:
  • o Siddhanta-siromani, dedicado a assuntos astronômicos e dividido em duas partes:
    • Goladhyaya ( Esfera Celeste )
    • Granaganita ( Matemática dos Planetas )
  • o Bijaganita que é um livro sobre Álgebra [ os indianos foram os pais da Álgebra e a chamavam de Outra (= Bija ) Matemática ( = Ganita), pois nasceu depois da matemática tradicional que dedicava-se aos cálculos aritméticos e geométricos ].
    Bhaskara gasta a maior parte desse livro mostrando como resolver equações . Embora não traga nenhuma novidade quanto à resolução das equações determinadas, ele traz muitos novos e importantes resultados sobre as indeterminadas. Para os matemáticos, é exatamente nas suas descobertas em equações indeterminadas que reside sua importância histórica.

    equações INDETERMINADAS ou diofantinas:
    chamamos assim às equações ( polinomiais e de coeficientes inteiros ) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de :
    • y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que seja o valor de a
    • a famosa equação de Pell x2 = N y2 + 1
      Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala ( ou pulverizador )

  

  •  

  • Bhaskara nem sabia o que é uma fórmula
    As fórmulas surgem na Matemática só 400 anos depois de sua morte, consequentemente, não poderia ele ter descoberto fórmula nenhuma.

     

  • Naquela época, como eram resolvidas as equações ?
    Usando REGRAS !
    Chamamos de regra à uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema, por exemplo uma equação. Na época de Bhaskara essas regras, tipicamente, tinham a forma de poesias que iam descrevendo as operações a realizar para resolver o problema.

    A partir de Aryabhata 500 dC, e possivelmente muito antes, os indianos já usavam várias regras para resolver equações do segundo grau. Entre essas, destacamos a seguinte que tem uma formulação muito próxima do procedimento que hoje usamos:

    EXEMPLO:
    para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:
    "multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso"

    É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x2 = px + q e x2 + px = q.
    Foi só na Era das Fórmulas, inaugurada com a Logistica Speciosa de François Viète c. 1 600 dC, que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado.

  • Bhaskara conhecia a regra acima ?
    Sim, conhecia.

     

  • Essa regra foi descoberta por Bhaskara ?
    Não! Ela JA' era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara Acharya.

 

Resumindo o envolvimento de Bhaskara com equações do segundo grau
  • Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau:
    No Lilavati, Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas e o que ele faz sobre isso no Bijaganita e' mera cópia do que já tinham escrito outros matemáticos.

     

  • Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau:
    Aí ele realmente fez grandes contribuições e essas estão expostas no Bijaganita. Pode-se dizer que essas contribuições, principalmente a invenção do método iterativo do chakravala e sua modificação do clássico método kuttaka correspondem ao ápice da matemática indiana clássica, podendo-se acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que voltaremos a encontrar desenvoltura técnica e fertilidade de idéias de porte comparáveis.

 

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pitagoras-UM POUCO DE HISTÓRIA  escrito em sábado 24 abril 2010 16:04

A história posterior da filosofia de Pitágoras se confunde com a da Escola de Platão, discípulo de Sócrates e mestre de Aristóteles, e que foi também ardente admirador e discípulo de Pitágoras. Platão herdou, de um lado, as doutrinas de seu mestre e, de outro, bebeu a sua sabedoria nas mesmas fontes do filósofo de Samos. Segundo Amônio Sacas, toda a Religião-Sabedoria estava contida nos Livros de Thot (Hermes), onde Pitágoras e Platão beberam os seus conhecimentos e grande parte de sua filosofia.

Desde os primeiros séculos da era cristã que é comprovada a existência, em Roma, das práticas e doutrinas religiosas de Pitágoras, principalmente as relacionadas com a imortalidade da alma. Pitágoras disputava então, com outras religiões, um lugar predominante no panteão da Roma Imperial. A comprová-lo as capelas pitagóricas descobertas pela arqueologia, nas quais os iniciados aprendiam os mistérios de Pitágoras, e onde eram introduzidos no culto de Apolo.

Os afrescos encontrados no sub-solo da Porta Maggiore, em Roma, mostram temas Pitagóricos. O nacionalismo romano também está ligado a Pitágoras através da obra Metamorfoses, de Ovídio, que nela relatou a teoria da reencarnação, defendida pelo filósofo de Samos. Os discípulos diretos de Platão também retornaram aos princípios Pitagóricos; e os neo-Platônicos, com Jâmblico, no séc. IV d.C. também os adotaram, juntamente com os mais recentes escritos Pitagóricos, isto é, os Hinos Órficos. Do séc. I d.C. ao séc. VI d.C. a doutrina de Pitágoras influenciou grandes filósofos que escreveram e divulgaram a sua filosofia. Alguns deles foram Apolônio de Tiana, Plotino, Amélio e Porfírio.

Depois que os cristãos conquistaram, no séc. IV d.C. o controle do Estado, os Pitagóricos tornaram-se, gradualmente, uma minoria perseguida. No entanto, as idéias de Pitágoras continuaram a ser pregadas na antiga escola de Platão, a Academia de Atenas, e em Alexandria, até que no séc. VI d.C. Justiniano, imperador do Oriente, fechou a Academia e proibiu a pregação da filosofia e das doutrinas consideradas pagãs pelo catolicismo. A partir desta época prevaleceu a era do obscurantismo da Idade Média. Mas as doutrinas de Pitágoras foram abertamente pregadas por um período de 1.200 anos, que se estende do séc. VI a.C. ao sec. VI d.C.

Apesar de perseguido pela religião oficial Pitágoras foi, para grandes figuras do Catolicismo, como Santo Ambrósio, uma figura de referência por ter sido visto como intermediário entre Moisés e Platão, No séc. XVI, de acordo como o interesse do autor, Pitágoras era apresentado como poeta, como mágico, como autor da Cabala, como matemático, ou como defensor da vida contemplativa. Rafael, famoso pintor italiano, retratou Pitágoras como um homem idoso, de longas barbas, entre filósofos, no quadro “Escola de Atenas”.

Embora remotamente, não podemos deixar de registrar a existência de pontos comuns entre a filosofia de Pitágoras e o sistema Positivista de August Comte. Pitágoras, racionalista, procurou explicar a cosmogonia universal através da ciência. Comte trilhou caminho semelhante. Antes de tudo, Pitágoras buscou o conhecimento da Verdade e só por isso já deve ser reverenciado por toda a Humanidade

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AS LEIS DE NEWTON  escrito em sábado 20 março 2010 16:06

Leis de Newton

1. Primeira lei de Newton ou lei da Inércia:
Um corpo que esteja em movimento ou em repouso, tende a manter seu estado inicial.

2.Segunda lei de Newton ou princípio fundamental da mecânica:
A resultante das forças de agem num corpo é igual ao produto de sua massa pela aceleração adquirida.

3. Terceira lei de Newton ou lei de ação e reação:
Para toda força aplicada, existe outra de mesmo módulo
, mesma direção e sentido oposto.

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Raios, relâmpagos e trovões  escrito em sábado 13 março 2010 20:49

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